贵州爽慧裕百货商行（个人独资）

四点共圆：若在合并个平面内，有四个点在合并个圆上，则称这四个点共圆，一般简称“四点共圆”.

一、模子1：定点定长共圆模子（圆的界说）若四个点到一个定点的距离超过，则这四个点共圆．如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上．

图片

例1、如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离超过，若∠ABC=40°，求∠ADC的度数.解：由题意获取OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°。例2、如图，四边形ABCD中，DA=DB=DC，∠BDC=72°，求∠BAC的度数.

图片

解：如图，∵DA=DB=DC，

图片

∴ A、B、C在以点D为圆心的圆上∴ ∠BAC=

图片

∠BDC=36°.二、模子2：对角互补共圆模子若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个极点共圆．如图，在四边形ABCD中， 若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在合并个圆上．

图片

拓展：若一个四边形的外角便是它的内对角，则这个四边形的四个极点共圆．如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在合并个圆上．

图片

例1、已知：如图，四边形ABCD中，AC瓜分∠BAD，∠B+∠D=180°．求证：BC=CD．

图片

解：∵ ∠B+∠D=180°∴ A、B、C、D四点共圆。∵ AC瓜分∠BAD∴ ∠DAC=∠CAB∴ BC=CD三、定边对双直角共圆模子

图片

1、定边对双直角模子（同侧型）若平面上A、B、C、D四点讲理∠ABC=∠ACD=90°，则：A、B、C、D四点共圆，其中AD是直径.2、定边对双直角模子（同侧型）若平面上A、B、C、D四点讲理∠ABC=∠ADC=90°，则：A、B、C、D四点共圆，其中AD是直径.例1、如图，四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥BD于点D，若BD=2，CD=

图片

，求线段AB的长.

图片

解：∵ ∠ACB=90°，AD⊥BD∴ A、B、D、C四点共圆，且AB为直径作CF⊥CD，交AD于点F，AD与CB交于点E，如图所示

图片

∵ ∠ABC=45°∴ ∠ADC=45°，△CFD是等腰直角三角形∴ FD=

图片

CD=8∵ CD⊥CF∴ CF=CD∵ ∠CAF=∠CBD，AC=BC∴ △AFC≌△CBD∴ AF=BD=2∴ AD=AF+FD=2+8=10∴ AB=

图片

例2、如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC上少许，持续AD。作BE⊥AD蔓延线与点E，持续CE，求证：∠AEC=45°.

图片

施展：∵ 等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°∴ AC=BC，∠ABC=∠CAB=45°∵ BE⊥AD，∴ ∠AEB=90°∵ ∠AEB=∠ACB∴ A、B、E、C四点共圆∴ ∠AEC=∠ABC=45°.四、模子4：定弦定角共圆模子若两个点在一条线段的同旁，何况和这条线段的两头连线所夹的角超过，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在合并个圆上．

图片

例1、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，点D在线段BC上，四边形ADEF是正方形，持续FC，求证：FC⊥BC.

图片

施展：如图，持续DF

图片

∵ 四边形ADEF是正方形∴ ∠AFD=45°∵ △ABC是等腰直角三角形∴ ∠ACB=45°∴ ∠AFD=∠ACB∴ A、D、C、F四点共圆∵ ∠FAD=90°，∠FAD+∠DCF=180°∴ ∠FCD=90∴ FC⊥BC.例2、如图，在Rt△ABC中，∠BAD=90°，∠ABC=40°，将△ABC绕A点顺时针旋转获取△ADE，使D点落在BC边上.（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆.

图片

解：（1）∵ Rt△ABC中，∠BAD=90°，∠ABC=40°∴ ∠C=50°∵ 将△ABC绕A点顺时针旋转获取△ADE，使D点落在BC边上∴ AD=AC∴ ∠ADC=∠C=50°∴ ∠ADC=∠ABC+∠BAD=50°∴ ∠BAD=50°-40°=10°.施展：（2）∵ 将△ABC绕A点顺时针旋转获取△ADE∴ ∠AED=∠ABC∴ A、D、B、E四点共圆. 本站仅提供存储工作，统统实验均由用户发布，如发现存害或侵权实验，请点击举报。